OpenFOAM 拓扑优化

发布时间：2024-04-29 03:25:59　点击量：

时间：2022年4月1日

本文简要介绍OpenFOAM-7自带的求解器adjointShapeOptimizationFoam以及自带的算例pitzDaily。小试牛刀介绍OpenFOAM的流体拓扑优化问题，希望能给入门者启发。

拓扑优化原是固体力学中的概念，用于材料结构设计，在设计初期在给定载荷下尽可能减少材料用量。2003年，Borrvall 和 Petersson提出在流体力学领域的拓扑优化问题，优化流体区域，以实现目标函数最大（小）化。

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拓扑优化是将设计域划分为有限个单元，优化单元内固体含量。在流体拓扑优化中，设计变量是单元格内固体的体积分数 $\\alpha$ ， $\\alpha=1$ 时为固体， $\\alpha=0$ 时为流体。（如果此处不好理解可以先看后面的算例结果）

考察不可压缩稳态Navier-Stokes方程，在Navier-Stokes引入Darcy力，即 $\\alpha\\mathbf{v}$ ，用于描述过渡区域的固体阻力。

优化问题可以描述为：

$\\begin{aligned}\\operatorname{minimize}&\\qquad \\mathrm{J}=\\mathrm{J}(\\mathbf{v}, p, \\alpha) \\\\ s.t. &\\qquad \\mathbf{v}\ abla \\mathbf{v}-\ u \ abla{^2}\\mathbf{v}+\ abla p + \\alpha\\mathbf{v}=0 \\\\ & \\qquad \ abla \\cdot \\mathbf{v}=0 \\end{aligned}\ ag{1}$

引入拉格朗日乘子，将有约束的优化问题转变为无约束优化问题。

$\\operatorname{minimize}\\mathrm{L}:=\\mathrm{J}+\\int_{\\Omega}(\\mathbf{u}, q) R \\mathrm{~d}\\Omega \ ag{2}$

其中 $R$ 是正向问题的控制方程，即{1}式中的动量方程和连续性方程， $(\\mathbf{u}, q)$ 是拉格朗日乘子，也是伴随速度和伴随压力。

拉格朗日函数对 $(\\mathbf{v}, p)$ 求偏导等于零，可以得到连续伴随方程，即关于伴随变量 $(\\mathbf{u}, q)$ 的PDE问题。（具体推导过程以及伴随方程的边界条件将在下一篇文章中介绍）

$-\ abla \\mathbf{u}\\cdot \\mathbf{v}-(\\mathbf{v}\\cdot \ abla) \\mathbf{u}-\ u \ abla{^2}\\mathbf{u}+ \ abla q +\\alpha \\mathbf{u}+\\frac{\\partial \\mathrm{J}_{\\Omega}}{\\partial \\mathbf{v}}=0 \\\\ \ abla \\cdot \\mathbf{u}=\\frac{\\partial \\mathbf{J}_{\\Omega}}{\\partial p}\ ag{3}$

拉格朗日函数对设计变量 $\\alpha$ 求偏导，得到目标函数的灵敏度。 $\\frac{\\partial L}{\\partial \\alpha}=\\mathbf{u}\\cdot \\mathbf{v}\ ag{4}$

求解正向问题，即连续性方程和动量方程得到速度 $\\mathbf{u}$ ，求解伴随问题，即连续伴随方程，得到伴随速度 $\\mathbf{v}$ ，即获得目标函数对于设计变量的导数，接下来利用优化算法，可以进一步优化问题。

该部分不涉及OpenFOAM如何编写求解器及具体如何求解，只介绍其中入门者可能困惑的关键问题。

1.目标函数为最小流动功耗

$J=-\\int_{\\Gamma}\\mathrm{d}\\Gamma\\left(p+\\frac{1}{2}v^{2}\\right) \\mathbf{v}\\cdot \\mathbf{n}\ ag{5}$
该目标函数是边界的积分，计算域内偏导为零。得到伴随方程{3}中 $\\frac{\\partial \\mathrm{J}_{\\Omega}}{\\partial \\mathbf{v}}=0， \\frac{\\partial \\mathbf{J}_{\\Omega}}{\\partial p}=0$
伴随动量方程{1}对应的代码形式为

volVectorField adjointTransposeConvection((fvc::grad(Ua) & U));
zeroCells(adjointTransposeConvection, inletCells);
tmp<fvVectorMatrix> tUaEqn
(
    fvm::div(-phi, Ua)
    - adjointTransposeConvection
    + turbulence->divDevReff(Ua)
    + fvm::Sp(alpha, Ua)
    ==
    fvOptions(Ua)
);

2.最速下降法
adjointShapeOptimizationFoam求解器利用最速下降法优化结构， $\\lambda$ 为步长，并引入松弛因子。

$\\alpha_(n+1)=\\alpha_n - \\mathbf{u}\\cdot \\mathbf{v}\\lambda \ ag{6}$

OpenFOAM中以以下实现：

alpha += mesh.fieldRelaxationFactor("alpha")
*(min(max(alpha + lambda*(Ua & U), zeroAlpha),alphaMax) - alpha);

3.一步法求解
通常求解CFD问题时，需要多次迭代，才能达到收敛，获得比较准确的速度场和压力场。而在该求解器中，由于求解器和算例的都较为简单，为了演示计算，同时降低计算量，采用一步法求解正向问题和伴随问题。在每一步优化迭代中，只循环计算一次SIMPLE耦合速度和压力场，不需要求解得到稳定收敛的向量和标量场。将结构优化迭代问题和正逆问题的迭代在同一个循环中计算。

用OpenFOAM自带的算例进行演示，可以看到蓝色为流体流经区域，红色为固体区域。经过优化后入口处的阶梯变成了一个斜坡，降低了流动功耗。（下一篇文章将对该算例进行详细说明）

Othmer, C. & de Villiers, E. & Weller, H.G. (2007). Implementation of a continuous adjoint for topology optimization of ducted flows. American Institute of Aeronautics and Astronautics, AIAA-3947.
这篇是Othmer写的在OpenFOAM实现拓扑优化的文章
Description of adjointShapeOptimizationFoam and how to implement new objective functions
是一篇 http://www.tfd.chalmers.se/~hani/kurser/OS_CFD/ 课程报告中关于adjointShapeOptimizationFoam的作品

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